PMSMの電圧方程式

ここではPMSMの電圧方程式について解説する。

準備中

簡単のために、まずは固定子のみの電気的特性を考察する。後に回転子込みの電気的特性を導く。

ここでは固定子の電気的構造を考える。
$v$ 、 $i$ 、 $\phi$ をそれぞれ電圧、電流、磁束として、抵抗とインダクタを直列に接続したR-L負荷の電圧方程式は次式となる。

\begin{aligned} v &= Ri + sLi \\ &= Ri + s\phi \end{aligned}

固定子では、3相巻線として3対のR-Lが、Y結線もしくはΔ結線で接続される。以後、簡単のためY結線とする。

主磁束を $\phi_{L}$ 、漏れ磁束を $\phi_{l}$ 、各々に対応するインダクタンスを $L$ 、 $l$ とする。このとき短絡する磁束を考慮する。

\begin{aligned} v &= Ri + s(\phi_{L} + \phi_{l}) \\ &= Ri + s(L + l)i \end{aligned}

このとき $\bm{\phi}$ を鎖交磁束とし、固定子の電圧方程式は次式となる。

\begin{aligned} \bm{v} &= R \bm{i} + s \bm{\phi} \\ \begin{pmatrix} v_u\\ v_v\\ v_w\\ \end{pmatrix} &= R \begin{pmatrix} i_u\\ i_v\\ i_w\\ \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} \phi_u\\ \phi_v\\ \phi_w\\ \end{pmatrix} \end{aligned} \tag{1}

\begin{aligned} \begin{pmatrix} \phi_u\\ \phi_v\\ \phi_w\\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos{(0)} (\phi_{Lu} + \phi_{lu}) & \cos{(\frac{2\pi}{3})} \phi_{Lv} & \cos{(\frac{-2\pi}{3})} \phi_{Lw} \\ \cos{(\frac{-2\pi}{3})} \phi_{Lu} & \cos{(0)} (\phi_{Lv} + \phi_{lv}) & \cos{(\frac{2\pi}{3})} \phi_{Lw} \\ \cos{(\frac{2\pi}{3})} \phi_{Lu} & \cos{(\frac{-2\pi}{3})} \phi_{Lv} & \cos{(0)} (\phi_{Lw} + \phi_{lw}) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \phi_{Lu} + \phi_{lu} & -\frac{1}{2} \phi_{Lv} & -\frac{1}{2} \phi_{Lw} \\ -\frac{1}{2} \phi_{Lu} & \phi_{Lv} + \phi_{lv} & -\frac{1}{2} \phi_{Lw} \\ -\frac{1}{2} \phi_{Lu} & -\frac{1}{2} \phi_{Lv} & \phi_{Lw} + \phi_{lw} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} L_u + l_u & -\frac{1}{2}L_v & -\frac{1}{2} L_w \\ -\frac{1}{2} L_u & L_v + l_v & -\frac{1}{2} L_w \\ -\frac{1}{2} L_u & -\frac{1}{2} L_v & L_w + l_w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_u\\ i_v\\ i_w\\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} L & M & M \\ M & L & M \\ M & M & L \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_u\\ i_v\\ i_w\\ \end{pmatrix}\\ \bm{\phi} &= \bm{L} \bm{i} \end{aligned}

\bm{v} = R \bm{i} + s \bm{L} \bm{i} \tag{2}

$s\bm{L}\bm{i}$ は、 $\frac{d}{dt}(\bm{L}\bm{i})$ である事に注意する。
回転子の有無によりLの値が変化する。磁気経路内にある物体の透磁率に依存する。
透磁率は空気、珪素鋼板でそれぞれ $1.25 \times 10^{-6}$ [H/m]、 $5.0 \times 10^{-3}$ [H/m]程度と異なる。
よってこのセクションのLは、以後出現する回転子を含むPMSMのモデルに含まれたLとは値が異なる事に注意する。

SPMSMは回転子にリラクタンス(磁気抵抗)の変動が存在しないモータである。
合計の磁束 $\bm{\phi_{all,uvw}}$ とは、固定子反作用磁束 $\bm{\phi_{i,uvw}}$ と回転子の永久磁束により発生する磁束 $\bm{\phi_{m,uvw}}$ の和となる。

\begin{equation} \begin{split} \bm{v_{uvw}} &= R \bm{i_{uvw}} + s \bm{\phi_{all,uvw}}\\ \bm{v_{uvw}} &= R \bm{i_{uvw}} + s \bm{\phi_{i,uvw}} + s \bm{\phi_{m,uvw}}\\ \bm{v_{uvw}} &= R \bm{i_{uvw}} + s \begin{pmatrix} L & M & M \\ M & L & M \\ M & M & L \end{pmatrix} \bm{i_{uvw}} + s \Phi \begin{pmatrix} \cos{(\theta)}\\ \cos{(\theta + \frac{2\pi}{3})}\\ \cos{(\theta - \frac{2\pi}{3})}\\ \end{pmatrix}\\ \end{split} \end{equation}

IPMSMは回転子にリラクタンス(磁気抵抗)の変動が存在するモータである。回転子の形状の対称性から、リラクタンスの変動は $2\theta$ の関数となる。

合計の磁束 $\bm{\phi_{all,uvw}}$ とは、固定子反作用磁束 $\bm{\phi_{i,uvw}}$ と回転子の永久磁束により発生する磁束 $\bm{\phi_{m,uvw}}$ の和となる。

\begin{equation} \begin{split} \bm{v_{uvw}} &= R \bm{i_{uvw}} + s \bm{\phi_{all,uvw}}\\ \bm{v_{uvw}} &= R \bm{i_{uvw}} + s \bm{\phi_{i,uvw}} + s \bm{\phi_{m,uvw}}\\ \bm{v_{uvw}} &= R \bm{i_{uvw}} + s \begin{pmatrix} L(2\theta) & M(2\theta) & M(2\theta) \\ M(2\theta) & L(2\theta) & M(2\theta) \\ M(2\theta) & M(2\theta) & L(2\theta) \end{pmatrix} \bm{i_{uvw}} + s \Phi \begin{pmatrix} \cos{(\theta)}\\ \cos{(\theta + \frac{2\pi}{3})}\\ \cos{(\theta - \frac{2\pi}{3})}\\ \end{pmatrix}\\ \end{split} \end{equation}

uvw軸の電圧方程式は、

\begin{equation} \begin{split} \bm{v_{uvw}} &= R \bm{i_{uvw}} + s \bm{\phi_{all}} \\ \bm{v_{uvw}} &= R \bm{i_{uvw}} + s \bm{\phi_{i,uvw}} + s \bm{\phi_{m,uvw}} \end{split} \end{equation}

となる。

αβ軸上の電圧方程式は3相モデルに対して

\bm{S}=\sqrt{\frac{2}{3}}\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{pmatrix}

を作用させ、

\begin{pmatrix} v_{\alpha}\\ v_{\beta}\\ \end{pmatrix} = \bm{v_{\alpha\beta}} = \bm{S} \bm{v_{uvw}}

\begin{pmatrix} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{pmatrix} = \bm{i_{\alpha\beta}} = \bm{S} \bm{i_{uvw}}

\begin{pmatrix} \phi_{\alpha}\\ \phi_{\beta}\\ \end{pmatrix} = \bm{\phi_{\alpha\beta}} = \bm{S} \bm{\phi_{uvw}}

\bm{v_{\alpha\beta}} = R \bm{i_{\alpha\beta}} + s\bm{I} (L_i \bm{I} + L_m \bm{Q}(\theta)) \bm{i_{\alpha\beta}} + s\bm{I} \bm{u}(\theta) \begin{pmatrix}\phi\\ 0\\ \end{pmatrix} \tag{2}

を得る。

γδ軸上の電圧方程式は回転行列

\bm{R}=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{pmatrix}

を作用させると、

\bm{v_{\gamma\delta}} = R \bm{i_{\gamma\delta}} + ( s\bm{I} + \omega_\gamma \bm{J} ) (L_i \bm{I} + L_m \bm{Q}(\theta_\gamma)) \bm{i_{\gamma\delta}} + ( s\bm{I} + \omega_\gamma \bm{J} ) \bm{u}(\theta_\gamma) \begin{pmatrix}\phi\\ 0\\ \end{pmatrix} \tag{3}

を得る。

dq軸上の電圧方程式は

\bm{v_{dq}} = R \bm{i_{dq}} + ( s\bm{I} + \omega \bm{J} ) \begin{pmatrix} L_d & 0 \\ 0 & L_q \\ \end{pmatrix} \bm{i_{dq}} + ( s\bm{I} + \omega \bm{J} )\begin{pmatrix}\phi\\ 0\\ \end{pmatrix} \tag{4}

を得る。