数学的基礎知識

ここではPMSMの制御理論に密接に関連する数学的基礎知識を説明する。
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微分演算子とラプラス変換

$f(t)$ のラプラス変換を $F(s)$ とするとき、 $f(t)$ に作用する微分演算子 $\frac{d}{dt}$ は、 $F(s)$ と $s$ の積に対応する。

\begin{CD} f(t) @>\frac{d}{dt}>> \frac{d}{dt}f(t) \\ @V\mathcal{L}VV @VV\mathcal{L}V \\ F(s) @>s>> sF(s) \end{CD}

以後、特別な理由が無い限り $\frac{d}{dt}$ も $s$ と表記する。
混在するが、作用する関数の引数や定義域を考えれば両者の区別は自明となる。

2次元実数空間と複素数の対応

\bm{I}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

\bm{J}= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}

と定義する。複素数 $x+jy \in \mathbb{C}$ に対して、行列 $\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \\ \end{pmatrix} \in \{xI+yJ | x,y\in \mathbb{R} \}$ を対応させる。

この対応を $\phi$ とすれば、 $\phi$ は $\mathbb{C}$ から $\{xI+yJ | x,y\in \mathbb{R} \}$ への1対1かつ上への写像(全単射)となる。

###証明線形写像の性質を利用するため、 $\phi$ が線形写像であることを証明する。 $z=x+jy$ とし、 $az=ax+jay$ であるから、

\phi(az)=\begin{pmatrix} ax & -ay \\ ay & ax \\ \end{pmatrix} =a\phi(z)

\phi(z+w)=\begin{pmatrix} x_z + x_w & -(y_z + y_w) \\ (y_z + y_w) & x_z + x_w \\ \end{pmatrix} =\phi(z) + \phi(w)

よって $\phi$ が線形写像。一方で、 $\phi(z)=0$ ならば、 $z=0$ である。 $\phi(z)=\phi(w)$ ならば、線形写像であるから、

0=\phi(z)-\phi(w)=\phi(z-w)

より $z=w$ となり、1対1である。(1対1であることの証明完了。) また、任意の $\{xI+yJ | x,y\in \mathbb{R} \}$ に対して $z=x+jy$ が $\phi$ によってうつることより、上への写像となる。 $\square$

これより、線形写像であった $\phi$ は全単射でもあるため、 $\phi$ は線形同型写像となる。よって $\mathbb{C}$ と $\{xI+yJ | x,y\in \mathbb{R} \}$ は同型である。( $\mathbb{C}\cong\{xI+yJ | x,y\in \mathbb{R} \}$ )

この同型対応を利用すれば、複素数における和や積が、行列における和や積に対応する。

\begin{CD} \mathbb{R}^2 \ni A @>x\bm{I}+y\bm{J}>> B \in \mathbb{R}^2\\ @VVV @VVV \\ \mathbb{C} \ni z @>x + jy>> w \in \mathbb{C} \end{CD}

モータ制御に頻出する $\bm{I}$ と $\bm{J}$ による演算は、複素数に置き換えて演算しても問題ない。

例

\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{pmatrix} s \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \rightarrow e^{j\theta}sz

e^{j\theta}sz = se^{j\theta}z + j\omega e^{j\theta}z

se^{j\theta}z + j\omega e^{j\theta}z \rightarrow ( s\bm{I} + \omega \bm{J} ) \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}

また、複素数体の元は可換であるため、 $\bm{I}$ と $\bm{J}$ を用いて表現すれば、計算コストが低くなる。

例

\begin{pmatrix} a & - b \\ b & a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & - d \\ d & c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} c & - d \\ d & c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & - b \\ b & a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}

同相・鏡相信号を用いた回転処理(回転行列の対角化)

回転行列は複素数成分の行列を用いて対角化することができる。ここでは2次元の場合について検討する。

\bm{U} \coloneqq \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & - j \\ 1 & j \\ \end{pmatrix}

として、

\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{pmatrix} =\bm{U} \begin{pmatrix} e^{j\theta} & 0 \\ 0 & e^{-j\theta} \\ \end{pmatrix} {}^t\!\bm{U}

主に扱うのは $\mathbb{R}^2$ の信号であるが、回転の写像がある場合には $\mathbb{C}^2$ で考えると簡単になる事がある。

ここで、ユニタリ行列

\bm{U} \coloneqq \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & - j \\ 1 & j \\ \end{pmatrix}

を考える。

いま、 $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}^2$ の写像と制限して考えれば、この行列は $\mathbb{C}$ 上に、元と、元の複素共役が射影される変換である。

\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \end{pmatrix} =\bm{u} \in \mathbb{R}^2

\begin{pmatrix} u_p \\ u_n \\ \end{pmatrix} = \bm{u_{pn}} = \bm{U} \bm{u} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} u_1 + ju_2 \\ u_1 - ju_2 \\ \end{pmatrix}

このとき、 $u_p$ を $\bm{u}$ の正相成分、 $u_n$ を $\bm{u}$ の逆相成分と呼ぶ。

\begin{CD} \mathbb{R}^2 \ni \bm{u} @>f>> \bm{y} \in \mathbb{R}^2\\ @VV\bm{U}V @AA{}^t\!\bm{U}A \\ \mathbb{C}^2 \ni \bm{u_{pn}} @>g>> \bm{y_{pn}} \in \mathbb{C}^2 \end{CD}

回転座標系上で動作する制御器の静止座標系での考察

2次元の回転行列は、実数成分の行列では対角化することができないが、複素数成分の行列を考える事で対角化可能である。回転座標系上の制御器は次のようになる。

\begin{CD} \mathbb{R}^2 \ni \bm{u_s} @>R(\theta)>> \bm{u} @>F(s)>> \bm{y} @>R(\theta)>> \bm{y_s} \in \mathbb{R}^2\\ @VV\bm{U}V @VVV @VVV @AA{}^t\!\bm{U}A \\ \mathbb{C}^2 \ni \bm{u_{pn}} @>g>> \bm{y_{pn}} \in \mathbb{C}^2 \end{CD}

PMSMの電圧方程式

PMSMの構造